Сегодня мы разберёмся, как не запутаться в длинных примерах и всегда получать правильный ответ. Я покажу вам простой пошаговый алгоритм, который работает безотказно. Порядок действий в выражениях — это не просто правило из учебника, это ваш главный инструмент. Давайте сделаем его надёжным и понятным.
Действия первой и второй ступени: с чего всё начинается
Прежде чем мы начнём расставлять порядок в длинных примерах, давайте вспомним основу. В математике все арифметические действия разделены на две группы — две ступени. Это как в спорте: есть начинающие и есть мастера. Сложение и вычитание — это действия первой ступени. А вот умножение и деление — это уже действия второй ступени. Почему такое разделение? Потому что умножение и деление — это более «сильные» операции. Они как бы «старшие» по званию. И в любом примере старшие всегда главнее. Умножение и деление выполняются раньше, чем сложение и вычитание. Это первое и самое важное правило, которое нужно запомнить раз и навсегда.
Зачем же математики придумали эти ступени? Всё просто: чтобы у нас был чёткий порядок. Представьте, что вы собираете конструктор. Сначала вы кладёте фундамент (это умножение и деление), а потом уже ставите стены и крышу (сложение и вычитание). Если начать с крыши — ничего не получится. Так и в математике: если начать со сложения там, где нужно умножать, ответ будет неверным.
Для пятиклассников это часто становится открытием: оказывается, нельзя просто считать подряд, как в первом классе! Нужно смотреть, какие действия стоят в примере. И это первая ступень к пониманию порядка действий в выражениях.
Смотреть презентацию по теме урока:
Порядок действий в выражениях — пошаговый алгоритм для 5 класса с примерами
Правило №1: в примере без скобок только сложение и вычитание
Начнём с самого простого случая. Представьте, что у нас есть выражение, где нет скобок и есть только действия одной ступени. Например: *48 – 29 + 37 – 19*. Здесь только сложение и вычитание — действия первой ступени.
В такой ситуации правило звучит очень просто: действия выполняются по порядку, слева направо. Именно так, как мы привыкли в первом классе. Сначала 48 минус 29 — получаем 19. Потом к 19 прибавляем 37 — выходит 56. И наконец из 56 вычитаем 19 — ответ 37.
То же самое работает, если в примере только умножение и деление. Например: *39 · 45 : 65 · 2*. Здесь все действия — второй ступени. Значит, опять считаем слева направо: 39 умножить на 45, потом разделить на 65, потом умножить на 2. И никаких других вариантов!
Это правило — самое простое. Но, как показывает практика, именно здесь дети иногда начинают сомневаться: «А может, сначала сложить, а потом вычесть?» Нет. Если все действия одной ступени — идут строго по порядку записи. Слева направо. Без вариантов.
Правило №2: в примере без скобок есть умножение и деление
А вот здесь начинается самое интересное. Допустим, в выражении нет скобок, но есть и сложение с вычитанием, и умножение с делением. Например: *578 – 75 : 25 · 4 + 156 : 12*. Как быть?
Запоминаем главное правило: сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), а только потом — действия первой ступени (сложение и вычитание). При этом умножение и деление выполняются по порядку слева направо. И сложение с вычитанием — тоже по порядку слева направо.
Давайте разберём наш пример по шагам. В нём есть деление, умножение и ещё одно деление — это действия второй ступени. Их мы считаем первыми. Слева направо: 75 делим на 25 — получаем 3. Затем 3 умножаем на 4 — выходит 12. Затем 156 делим на 12 — получаем 13. Всё, действия второй ступени закончились. Теперь остались только сложение и вычитание: 578 минус 12 плюс 13. Считаем слева направо: 578 – 12 = 566, 566 + 13 = 579. Ответ готов!
Обратите внимание: умножение и деление равны по силе. Между ними нет приоритета — они выполняются в том порядке, в котором записаны. То есть если сначала идёт деление, а потом умножение — сначала делим, потом умножаем. И наоборот.
Скобки в примерах: что меняется и почему
А теперь — самый важный момент. Скобки в примерах — это как знак «Стоп» на дороге. Они говорят: «Стой! Сначала сделай то, что внутри меня!». И это правило действует раньше всех остальных. Даже раньше, чем умножение и деление.
Представьте себе выражение: (4 + 6) : 2. Если бы скобок не было, мы бы сначала разделили 6 на 2, а потом прибавили 4. Получилось бы 7. Но скобки меняют всё! Они говорят: «Сначала сложи 4 и 6, будет 10. И только потом раздели на 2». Ответ — 5. Видите разницу?
В учебнике Виленкина это правило формулируется так: если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, учитывая при этом правила для выражений без скобок. То есть внутри скобок действуют те же самые правила: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание.
И вот тут многие дети спотыкаются. Они видят скобки, радуются: «Ага, сначала считаем в скобках!» — и забывают, что внутри скобок тоже может быть умножение или деление. А это критично.
Правило №3: всегда начинаем со скобок
Итак, правило №3 — самое главное в нашей сегодняшней теме: всегда начинаем со скобок. Неважно, что там внутри — сложение, умножение или что-то ещё. Сначала разбираемся со скобками. А уже потом — с остальным выражением.
Посмотрим на пример: *315 : (162 + 12 · 24 – 11 · 39) + 558 : 31*. Что делаем? Видим скобки — начинаем с них. Внутри скобок: 162 плюс 12 умножить на 24 минус 11 умножить на 39. Здесь есть и сложение, и умножение. Значит, внутри скобок сначала делаем умножение: 12 · 24 = 288, 11 · 39 = 429. Потом сложение и вычитание: 162 + 288 – 429 = 21. Скобки посчитали. Теперь возвращаемся к основному выражению: 315 : 21 + 558 : 31. Дальше — по правилам: сначала деление (действия второй ступени): 315 : 21 = 15, 558 : 31 = 18. И наконец сложение: 15 + 18 = 33.
Скобки в примерах — это как приоритетный конверт: что внутри — то и открываем первым. И никак иначе.
Скобки в скобках и что делать, если их несколько
В учебниках встречаются выражения, где скобок несколько. Например: (24 · 7 – 377 : 29) · (2378 : 58 – 38). Что делать в таком случае?
В нашем примере две скобки — они не вложены друг в друга, а стоят рядом. Значит, считаем каждую скобку отдельно. В первой скобке: 24 · 7 = 168, 377 : 29 = 13, 168 – 13 = 155. Во второй скобке: 2378 : 58 = 41, 41 – 38 = 3. Теперь перемножаем результаты: 155 · 3 = 465.
А если скобки вложенные? Например: 2 · (3 + (5 – 2)). Начинаем с самой внутренней: 5 – 2 = 3. Потом 3 + 3 = 6. И наконец 2 · 6 = 12. Всё по порядку: от самых глубоких скобок к самым внешним.
Для наглядности советую ученикам выделять скобки цветными маркерами — самую внутреннюю одним цветом, следующую — другим. Это помогает не запутаться и чётко видеть, с чего начинать.
Чек-лист для пятиклассника: алгоритм на 4–5 действий
А теперь — самое ценное. Пошаговый алгоритм, который спасёт вашего ребёнка в любом длинном примере. Я называю его «Чек-лист пятиклассника». Распечатайте, повесьте над рабочим столом — и пусть всегда будет под рукой.
Шаг 1. Смотрю на выражение. Есть ли скобки? Если есть — начинаю с них. Если скобок несколько — начинаю с самых внутренних.
Шаг 2. Внутри скобок (или во всём выражении, если скобок нет) смотрю, какие есть действия. Вижу умножение или деление? Считаю их первыми, строго слева направо.
Шаг 3. После того как все умножения и деления сделаны, считаю сложение и вычитание — тоже слева направо.
Шаг 4. Если были скобки — возвращаюсь к основному выражению и повторяю шаги 2–3 для того, что осталось.
Шаг 5. Проверяю себя. Пересчитываю ещё раз или подставляю ответ в пример.
Вот и всё. Пять шагов — и любой пример с 4–5 действиями становится простым и понятным.
Как не потерять знак: секретная техника
Одна из самых частых ошибок в длинных примерах — потеря знака. Ребёнок считает, записывает промежуточный результат и… забывает, какой знак стоял перед следующим числом. В итоге — ошибка.
Как с этим бороться? Есть простой приём: подписывайте действия прямо над примером. Например:
578 – 75 : 25 · 4 + 156 : 12
Сверху над каждым действием ставим номер. Сначала те действия, которые делаем первыми (умножение и деление), потом — вторыми (сложение и вычитание). Так вы никогда не пропустите знак и не перепутаете порядок.
Ещё один приём — проговаривать вслух: «Сначала 75 делю на 25, получаю 3. Потом 3 умножаю на 4, получаю 12. Потом 156 делю на 12, получаю 13. Теперь 578 минус 12 плюс 13…» Проговаривание помогает удержать в голове всю последовательность и не сбиться.
И наконец — не пропускайте этапы. Многие дети пытаются считать всё в уме, чтобы сэкономить время. В 5 классе это — главный враг правильного ответа. Пишите промежуточные результаты. Чем больше вы запишете, тем меньше шансов ошибиться.
Игровой приём: «Светофор для действий»
Хочу поделиться одним приёмом, который отлично работает в моих классах. Я называю его «Светофор для действий».
Берём выражение и цветными карандашами выделяем действия: умножение и деление — красным (стоп, сначала их!), сложение и вычитание — зелёным (их потом). Скобки обводим в жёлтый кружок — они самые главные.
Дети обожают этот приём. Во-первых, он визуальный — сразу видно, что и когда делать. Во-вторых, он превращает скучное вычисление в игру. А в-третьих, он действительно работает: цветовое кодирование помогает мозгу быстрее обрабатывать информацию и запоминать алгоритм.
Попробуйте на следующем уроке или дома с ребёнком. Возьмите любой длинный пример, дайте цветные карандаши и скажите: «Красным — умножение и деление. Зелёным — сложение и вычитание. Жёлтым — скобки. Поехали!» Увидите, как изменится отношение к вычислениям.
Современные подходы: почему детям бывает трудно
Давайте честно посмотрим на проблему. Почему порядок действий в выражениях вызывает столько сложностей у пятиклассников?
Во-первых, в начальной школе все примеры были простыми: два-три действия, и все — по порядку. Ребёнок привык считать слева направо. И вдруг — бац! — оказывается, что так нельзя. Нужно смотреть на знаки, определять ступени, искать скобки… Это серьёзная перестройка мышления.
Во-вторых, абстрактное мышление в 5 классе только начинает формироваться. Ребёнку трудно удерживать в голове сложную последовательность действий. Ему нужны визуальные опоры: схемы, таблицы, цветные пометки.
В-третьих, многие дети просто не понимают, зачем это нужно. «Почему нельзя посчитать как удобно?» — спрашивают они. И здесь важно объяснить: математика — это точная наука. Если каждый будет считать по-своему, мы никогда не получим один правильный ответ. Порядок действий — это как правила дорожного движения. Все их соблюдают, чтобы не было аварий. В математике — чтобы не было ошибок.
Современная методика предлагает деятельностный подход: не просто дать правило и заставить запомнить, а дать ребёнку самому «открыть» это правило через практику. Например, предложить решить один и тот же пример разными способами и сравнить результаты. Увидеть своими глазами, что порядок действий влияет на ответ — это лучший способ запомнить, почему правила важны.
Разбор ошибки
Давайте посмотрим на типичную детскую ошибку. Это реальный пример из тетради пятиклассника.
Пример: *36 – 12 : 3 + 8*
Как решил ученик: 36 – 12 = 24, 24 : 3 = 8, 8 + 8 = 16.
Правильное решение: сначала деление: 12 : 3 = 4. Потом вычитание и сложение по порядку: 36 – 4 = 32, 32 + 8 = 40.
В чём ошибка? Ученик начал вычисления с операции вычитания, забыв о приоритете умножения и деления. Он помнил, что есть умножение и деление, но в погоне за быстрым счётом «схватился» за первое попавшееся действие. А в математике так нельзя: действия второй ступени всегда выполняются раньше действий первой ступени. Даже если деление стоит после вычитания.
Почему так писать нельзя? Потому что порядок действий — это не рекомендация, а строгое правило. Нарушив его один раз, вы получите неверный ответ. А в более сложных примерах с несколькими действиями одна такая ошибка «потянет» за собой все остальные вычисления.
Совет: перед тем как начать считать, всегда расставляйте номера действий над примером. Это займёт 5 секунд, но спасёт от ошибки.
Тренажёр
А теперь — практика. Вот 5 примеров для самопроверки. Решайте по порядку, используя наш алгоритм. Ответы — под спойлером.
Задание 1. 45 + 18 : 3 – 7
Задание 2. 24 : (8 – 2) · 5
Задание 3. 60 – 48 : 4 + 16 : 8
Задание 4. (35 + 15) : 5 – 4 · 2
Задание 5. 72 : (12 – 4) + 9 · (6 – 2)
- 45 + 18 : 3 – 7 = 45 + 6 – 7 = 44
- 24 : (8 – 2) · 5 = 24 : 6 · 5 = 4 · 5 = 20
- 60 – 48 : 4 + 16 : 8 = 60 – 12 + 2 = 50
- (35 + 15) : 5 – 4 · 2 = 50 : 5 – 8 = 10 – 8 = 2
- 72 : (12 – 4) + 9 · (6 – 2) = 72 : 8 + 9 · 4 = 9 + 36 = 45
Как прошло? Если все примеры решены верно — отлично, вы усвоили порядок действий в выражениях на твёрдую пятёрку. Если где-то ошиблись — вернитесь к алгоритму, найдите шаг, на котором сбились, и попробуйте ещё раз. Умножение и деление, скобки в примерах и строгий порядок — теперь ваши надёжные друзья. Удачи в учёбе!
